פתרון הפרדוקס איננו מושג על ידי העדפת דרך מחשבה אחת (אולי זו שבה מתקבל פיתרון שנראה לנו יותר הגיוני) על השנייה, אלא על ידי איתור הטעות באחת הדרכים (אולי זו שנותנת את הפתרון שנראה לנו לא הגיוני).
כל מעשה אחר אינו מיישב את הסתירה.
זו הסיבה לחשיבותם של פרדוקסים – פתרונם מכריח אותנו להתעמק ולפתור בעיות יסוד בחשיבה שלנו.
אסביר בקצרה למה כוונתי תוך שימוש בפרדוקס אכילס והצב.
פרדוקס זה הוא אחד הפרדוקסים שחוברו בידי הפילוסוף היווני זנון ולהלן תיאורו:
אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה, פי עשרה מהר יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות.
ברור (פתרון משוואות ממעלה ראשונה) שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.
הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.
אז היכן הטעות?
למסקנה שאכילס לא ישיג את הצב מגיעים על ידי תיאור של סדרה אינסופית של אירועים שבהם אכילס טרם השיג את הצב (וסדרה זו היא אכן סדרה שמתקיימת במציאות וניתן לשקף אותה גם בתיאור תנועתם של אכילס והצב באמצעות משוואות תנועה ליניאריות רגילות) אבל בנקודה זו בדיוק נכנסת הטעות בשיקול כאשר מסיקים מקיומה של אותה סדרה אינסופית של אירועים שאכילס לעולם לא ישיג את הצב בשעה שכל האירועים שבהם מדובר, אף כי מספרם אינסופי, מתרחשים כולם לפני שעה מסוימת (טור פרקי הזמן המפרידים ביניהם מתכנס) ולכן לא נכון להסיק מקיומם דבר על מה שיתרחש אחרי שעה זו.
במילים אחרות – נכון היה להסיק מהם שאכילס לא ישיג את הצב לפני שעה (נאמר) 10:00 אבל לא נכון להסיק שהוא לעולם לא ישיגנו.
השגיאה היא שגיאה של "הכללת יתר" ואפשר להמשיל אותה לשגיאה הבאה:
אני מסתובב ליד ביתי ושואל את כל האנשים שאני פוגש שם מהי ארץ מגוריהם. כולם עונים לי "ישראל" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל האנשים בעולם גרים בישראל.
במאמר מוסגר ראוי לציין כאן שלא תמיד אנחנו מנמנעים מהכללה בלתי מבוססת לפעמים יש הצדקה לאי ההגבלה.
אם, לשם דוגמה, נתבונן במפעל המדעי הרי שהוא "לוקה" באופן קבוע במה שאך לפני רגע תיארתי כטעות כיוון שאת כל הניסויים שלנו ערכנו בעבר ומסקנותינו לגבי החוקים מדברות גם על העתיד.
אנו מרשים לעצמנו לעשות זאת מכיוון שאנו מאמינים בנכונותה של אקסיומה מסוימת ביחס לחוקי הטבע – אקסיומה האומרת שהחוקים האלה אינם משתנים עם הזמן.
בבעיית זנון, כמובן שאיננו מתבססים על אקסיומה מסוג זה לגבי מהמיקום שכן התנועה מוגדרת על ידי שינוי המיקום עם התקדמות הזמן.
מיכאל רוטשילד
התגובות האחרונות