בויקיפדיה העברית מתואר הפרדוקס כך:
הפרדוקס ידוע בנוסחים שונים, וניתן להדגימו על ידי הסיפור הבא:
מורה נכנס לכיתה ומודיע לתלמידיו, כי באחד מימי השבוע הבא יתקיים בוחן פתע בתשע בבוקר, ועד לתחילת הבוחן לא תהיה לתלמידים אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
התלמידים, בניסיון לדעת את מועד הבוחן, ערכו את הניתוח הבא:
|
*
|
לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום שישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום חמישי, נדע בוודאות בסופו של יום חמישי שהבוחן יתקיים ביום שישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
|
|
*
|
יום חמישי הוא אם כן היום האחרון שבו יכול הבוחן להתרחש. אם כך, לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום חמישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום רביעי, נדע בוודאות בסופו של יום רביעי שהבוחן יתקיים ביום חמישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
|
|
*
|
באופן דומה נפסל גם יום רביעי, ואחריו יום שלישי, יום שני ויום ראשון.
|
מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. מה גדולה הייתה הפתעתם כאשר ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של בוחן הפתע המובטח. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?
הטקסט הבא מופיע שם כרגע כ"הסבר" לפרדוקס (אני מעתיק אותו לכאן כי ייתכן שהם יחזרו לעשתונותיהם ויחליפו אותו בעתיד ואני רוצה שהתייחסותי לדברים לא תאבד את הקשרה):
השורש של הפרדוקס טמון במשמעות הסמנטית של המושג "בוחן פתע". בדיקה מדוקדקת של הפרדוקס תראה שהוא נוצר מכיוון שאנו מייחסים למושג "בוחן פתע" שתי משמעויות שונות בו זמנית.
ראשית, כאשר התלמידים מניחים שאם המבחן לא התקיים עד יום חמישי, הוא אינו יכול להתקיים ביום שישי, המשמעות שהם מייחסים למושג "בוחן פתע" היא זאת - "בוחן שלא ניתן לדעת בשום יום באיזה יום יתקיים". בוחן פתע שכזה אכן אינו אפשרי כאשר המבחן ניתן במסגרת זמן מוגבלת - תמיד יהיה ניתן לדעת עבור היום האחרון, ועבורו בלבד, שהבוחן בהכרח יתקיים בו אם הוא לא התקיים עד עתה. כלומר, "בוחן פתע" מושלם (כזה שמפתיע בכל יום) אינו אפשרי במסגרת זמן מוגבלת. על כן, התלמידים אכן מוכיחים שבוחן פתע מושלם אינו יכול להתקיים, אולם הם אינם מוכיחים מאומה עבור בחני פתע "מוגבלים", שמפתיעים בחלק מהזמן.
לאחר מכן, משניתן הבוחן ביום שלישי ועדיין היה "מפתיע", מייחסים התלמידים למושג "בוחן פתע" משמעות אחרת: "בוחן שכאשר ניתן, לא היה ניתן לדעת באיזה יום יתקיים". זוהי גרסה חלשה בהרבה של הבוחן ה"מושלם" שבה השתמשו התלמידים בהנחת האינדוקציה שלהם, מכיוון שכאן על הבוחן להיות מפתיע רק ביום ספציפי אחד, היום שבו הוא ניתן - ויום זה נתון לבחירתו השרירותית של המורה.
כלומר, הפרדוקס נגרם לכאורה מכיוון שהתלמידים מופתעים על ידי בוחן שאינו מפתיע תמיד. הבוחן יכול להפתיע רק בחלק מן הזמן.
הפרדוקס מופיע גם בתורת המשחקים, בעת ניתוח דילמת האסיר האיטרטיבית, והוא קרוי שם "פרדוקס האינדוקציה לאחור" (Backward Induction Paradox).
לדעתי, הניסיון לפרש את הביטוי "בוחן פתע" באופנים שונים מאלה שמביאים לפרדוקס שונה אך במעט מן הניסיון לפרש ביטוי זה כ"בוחן שחובר על ידי אדם ששמו פתע". ברור שמחברי הפרדוקס לא התכוונו לכך וחבל בכלל לדון באפשרויות אלו.
אין כל קושי לשלב בשאלה הגדרה מדויקת של "בוחן פתע" ככזה שעד לרגע הטלתו אין התלמידים יודעים אם יוטל באותו יום (למרבה האירוניה – הגדרה כזו אכן מופיעה בהגדרה שבויקיפדיה) וכשעושים זאת הפרדוקס נשאר וההסבר הנ"ל הולך פפייפן.
למעשה, אפשר לגמרי להימנע מהשורש "פתע" בניסוח הפרדוקס והוא עדיין יעמוד על כנו.
הנה, כך:
מורה נכנס לכיתה ומודיע לתלמידיו, כי באחד מימי השבוע הבא יתקיים בוחן בתשע בבוקר, ועד לתחילת הבוחן לא תהיה לתלמידים אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
התלמידים, בניסיון לדעת את מועד הבוחן, ערכו את הניתוח הבא:
|
*
|
לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום שישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום חמישי, נדע בוודאות בסופו של יום חמישי שהבוחן יתקיים ביום שישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
|
|
*
|
יום חמישי הוא אם כן היום האחרון שבו יכול הבוחן להתרחש. אם כך, לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום חמישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום רביעי, נדע בוודאות בסופו של יום רביעי שהבוחן יתקיים ביום חמישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
|
|
*
|
באופן דומה נפסל גם יום רביעי, ואחריו יום שלישי, יום שני ויום ראשון.
|
מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של הבוחן המובטח ולאור הניתוח הנ"ל, עד לתחילת הבוחן הם באמת לא ידעו שהבוחן יתקיים באותו יום. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?
גם הניסיון לוותר על אמינות המורה (בו נתקלתי במקומות אחרים) משנה את תנאי הבעיה וגם אליו לא התכוון המשורר.
דרכים אלו ליישוב הפרדוקס קצת מזכירות לי את מנהגם המוזר של פוליטיקאים הנשאלים שאלה כלשהי לענות "לא זאת השאלה..." רק מפני שהם מעדיפים לענות על שאלה אחרת מזו שנשאלו.
מחבר הפרדוקס התכוון לתאר מצב פרדוקסאלי וזה מה שאכן עשה.
פתרון נאות לבעיה חייב להצביע על העובדות הגורמות לפרדוקסאליות של המצב ועל הטעויות שאנו עושים בניתוחו.
עוד הסתייגות שיש לי מן הגישה הנ"ל לטיפול בפרדוקס היא שמנסים לטעון שהפרדוקס מופגן על ידי התנגשות בין שיקול לוגי לבין ה"מציאות".
לדעתי, לא בכך מדובר.
פרדוקס נוצר כאשר שתי דרכי חשיבה לגיטימיות לכאורה מובילות למסקנות סותרות.
הרי אפשר בקלות לספר את הסיפור וכל אחד יבין את הבעיה גם אם העלילה מעולם לא התרחשה בפועל.
הבעיה ממחישה, לדעתי, את ההבדל בין משמעות הביטוי "אני יודע" לבין משמעות הביטוי "אני יכול להוכיח".
גדל התייחס להבדל זה כאשר הוכיח את משפט אי השלמות שלו והראה שיש טענות על המספרים הטבעיים שאנחנו יכולים לדעת שהן נכונות מבלי להיות מסוגלים להוכיח נכונות זו על סמך האקסיומות שבחרנו אבל במקרה שלפנינו מדובר בהבדל הרבה יותר בסיסי ופשוט.
ההבדל כאן נעוץ בעובדה שעל בסיס מערכת אקסיומות הכוללת סתירה פנימית ניתן להוכיח כל טענה וגם את היפוכה של כל טענה.
ברור, לכן, שכשאנו מוכיחים טענה כלשהי על בסיס מערכת אקסיומות הכוללת סתירה פנימית הרי שלמרות שהוכחנו שהטענה אכן נובעת מן האקסיומות איננו יודעים שהיא נכונה כי אנחנו יודעים (או, לפחות, יכולים לדעת) שמערכת האקסיומות אינה עקבית.
מערכת האקסיומות שהתלמידים מסיקים מדברי המורה כוללת סתירה פנימית.
קל להבחין בסתירה זו כאשר מדובר ביום בודד במקום בשבוע.
תארו לכם שמישהו יטען "אני אערוך מחר בוחן ואתם לא תדעו את היום בו הוא יתקיים".
כאן יסיק כל אדם שהמורה פשוט סותר את עצמו.
כאשר מדובר במספר ימים מסתרבלת הצרנת טענות המורה אך הסתירה לא נעלמת.
למשל, כאשר מדובר ביומיים הרי שבאופן גס ניתן לומר שהמורה טוען כדלקמן (ואנא סלחו לי על הסרבול):
"אני אערוך בוחן מחר או מחרתיים אבל לפחות אחת משתי הטענות הבאות נכונה:
טענה א: אם הבוחן לא יתקיים מחר לא תוכלו להוכיח מכך ומן האקסיומות שנתתי שהוא יתקיים מחרתיים
טענה ב: היה והוכחתם שטענה א אינה נכונה, עדיין לא תוכלו להסיק על בסיס הוכחה זו ועל בסיס האקסיומות את הטענה שהבוחן חייב להתקיים מחר"
גם כאן, אם תתרכזו מספיק, תראו את הסתירה.
אנו מסיקים שמערכת הנחות מסוימת אינה עקבית כאשר אפשר להוכיח על בסיסה דבר והיפוכו וזה מה שקורה גם כאשר מדובר ביותר מיום אחד.
אנחנו יכולים להוכיח שהבחינה תיערך באחד הימים (שהרי זו אחת מן האקסיומות – המורה אמר שיערוך השבוע בוחן), אבל אנחנו יכולים גם להוכיח את ההיפך – שהבחינה לא תיערך באף אחד מן הימים (וזה מה שעשו התלמידים).
מדובר, אם כן, במצב בו (אם מפרשים את המונח "ידיעה" בתור "אפשרות להוכיח") כופה המורה על התלמידים מערכת אקסיומות הכוללת סתירה פנימית ולכן הם יכולים להוכיח על פיה דבר והיפוכו.
כמו בפרדוקסים רבים אחרים ניתן לקשור את הסתירה הפנימית במערכת האקסיומות להתייחסות העצמית שהיא מכילה (כשאחת האקסיומות טוענת שיש מסקנה שלא ניתן להסיק מן הצירוף בין עצמה לבין האחרות).
כשהצגתי גרסה ראשונה של מאמר זה לחבר הוא אמר לי שההסבר לא מספק אותו כי בכל זאת, מה שקורה כאן הוא שהמורה מבטיח הבטחה שהוא אכן מקיים ולמרות זאת התלמידים נקלעים למצב פרדוקסאלי.
תשובתי היא שבכל זאת הצבעתי על הגורם שנראה לי כמקור הפרדוקס והוא המשמעות המעורפלת של המונח "ידיעה" בשילוב עם ההתייחסות העצמית של האקסיומות.
המורה יכול לקיים את הבטחתו כי ניסוחו את הבעיה, כאשר הוא מתורגם לאקסיומות, תוך התעלמות מן המקרים בהם "לדעת" ו"להיות מסוגלים להוכיח" אינם שקולים, כולל התייחסות עצמית המובילה לסתירה פנימית ומכיוון שעל מערכת אקסיומות עם סתירה פנימית אי אפשר להתבסס כדי "לדעת" משהו - התלמידים באמת לא יודעים מתי תתקיים הבחינה.
כדי להבין את הנ"ל טוב יותר, בואו נסתכל בבעיה דומה שבה במקום "לא תוכלו לדעת" אומר המורה "לא תהיו מסוגלים להוכיח".
במקרה זה ברור שהמורה דווקא מבטיח הבטחה שאינו מקיים כי בכל יום התלמידים דווקא מסוגלים להוכיח שהבוחן יתקיים באותו יום (וגם שלא יתקיים בו).
עובדה זו מראה בבירור שלב הבעיה מתחיל מפירושנו את מונח ה"ידיעה" שהרי ברגע שאנו מחליפים מונח זה בניסוח הבעיה, במשמעות שהתלמידים השתמשו בה בניסוח שיקוליהם - הכל נעשה ברור (ולהזכירכם: זה לגמרי שונה ממה שקרה כאשר וויתרנו על השורש "פתע").
מסתבר שהתייחסות עצמית יוצרת בקלות מצבים שקשה להבין את הפרדוקסאליות שלהם אם לא מבינים שהיא פשוט אסורה.
דוגמה בולטת לכך היא המשפט השני של גדל שמראה שאם מערכת אקסיומות "עשירה מספיק" (ולא נתעמק כרגע במשמעות העושר שבו מדובר) מאפשרת להוכיח את העקביות של עצמה אז היא אינה עקבית.
לדוגמה - אם תיקחו את מערכת האקסיומות של המספרים הטבעיים והלוגיקה (שאנחנו בטוחים למדי שהיא עקבית) ותוסיפו לה את האקסיומה: "מערכת האקסיומות הכוללת את האקסיומות הללו ואת האקסיומה הנוכחית היא עקבית" תקבלו מערכת הכוללת סתירה פנימית.
והרי גם כאן אפשר לטעון "מה בסך הכל עשינו? הוספנו אקסיומה תמימה לכאורה וקיבלנו סתירה פנימית! למה?!"
המסקנה היא שהחיים קשים.
מיכאל רוטשילד
התגובות האחרונות