הדוגמה המוכרת ביותר לפרדוקסים של התייחסות עצמית היא זו המכונה "פרדוקס השקרן" שהמחשה קצרה וברורה שלה, היא המשפט "משפט זה הוא שקר".
אם נניח שמשפט זה טוען טענת אמת – נוכל להסיק מכך שהוא טוען טענת שקר וגם להפך – אם נניח שהמשפט טוען טענת שקר נוכל להסיק שהוא טוען טענת אמת.
בהמשך המאמר ננסה לעמוד מעט על דוגמאות מורכבות יותר של הפרדוקס ועל הסיבה לכך שהתייחסות עצמית יוצרת פרדוקסים אבל תחילה ברצוני להביא דוגמאות לפרדוקס זה שמופיעות בשיח הכמעט יום יומי של מחב"תים ואנשי העידן החדש.
"אין אמת מוחלטת" (או בגרסה קצת אחרת – "אין אמת אחת").
זו טענה הנישאת תדיר בפי אנשי העידן החדש ששואפים למזער את דימויים של מאמצי והישגי המדע בחשיפת האמת.
כשאני נתקל באידיוט המעלה טענה זו אני נוטה לשאול אותו "רגע, האם טענה זו שטענת – גם היא אינה אמת מוחלטת?"
"לכל יצור יש יוצר"
זו טענה מחב"תית טיפוסית שמנצלת את השורש המשותף של המילה "יצור" והמילה "יוצר" (שורש שמקורו ככל הנראה באמונה באלוהים) כדי ליפול במופע אחר של אותו פרדוקס.
הרי כוונתם לטעון שלכל יצור יש יוצר ולשחרר את אלוהים מהדרישה הזאת אבל מהו בדיוק הדבר שעושה את אלוהים "לא יצור"? מדוע לא נחוץ היה יוצר שיצור אותו?
"לכל חוק יש מחוקק"
גם בטענה זו נתקלתי בוויכוחי עם מחב"תים שרצו להראות שגם אם הטבע אכן פועל לפי חוקים מוגדרים, נחוץ היה אלוהים כדי שחוקים אלה יחקקו.
התשובה שמחב"תים אלה שומעים ממני מבוססת בדרך כלל על שאלה בסגנון "באמת? ומי בדיוק חוקק את החוק הזה (החוק שלפיו לכל חוק יש מחוקק)?"
הכוונה בשאלה זו – כוונה שאני טורח בדרך כלל לבאר כיוון שאחרת אין סיכוי שיבינו אותה בעצמם – היא שטענתם מחייבת את מקבליה להניח את המבוקש ובמקרה זה – להניח שיש אלוהים עוד לפני שמתחילים לדון בשאלת קיומו.
אז אנחנו רואים שקל מאד ליפול במלכודת עתירת הסתירות של התייחסות עצמית ושיש אנשים שממש מתמחים בכך.
בגלל שקל ליפול בה, גם מתמטיקאים נפלו בה פה ושם וכיוון שהסביבה המתמטית אינה סובלת סתירות, הביאו נפילות אלו לחקירה יסודית יותר של הסיבות לסתירה ולהבנה שיש להיזהר בניסוחן של טענות והגדרות הכוללות התייחסות עצמית.
בגלל שקל ליפול בה, גם מתמטיקאים נפלו בה פה ושם וכיוון שהסביבה המתמטית אינה סובלת סתירות, הביאו נפילות אלו לחקירה יסודית יותר של הסיבות לסתירה ולהבנה שיש להיזהר בניסוחן של טענות והגדרות הכוללות התייחסות עצמית.
הפרדוקס שככל הנראה היה החלוץ בהבאת הבעייתיות שבהתייחסות עצמית לתודעה המתמטית היה פרדוקס ראסל.
ראסל הגדיר את הקבוצה שאבריה הן כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן ושאל האם קבוצה זו היא איבר של עצמה או לא.
הפרדוקס נוצר כיוון שאם הקבוצה אינה איבר של עצמה אז היא אחת מן הקבוצות שאינן איבר של עצמן ולכן היא חייבת להיות איבר של עצמה.
מתקיים גם ההיפך כי אם היא איבר של עצמה היא אינה אחת מן הקבוצות שאינן איבר של עצמן ולכן אינה איבר בקבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן, כלומר – אינה איבר של עצמה.
פרדוקס זה הכניס את העולם המתמטי לתזזית שהשחרור ממנה הגיע במופעים שונים של תובנה אחת פשוטה:
אין אפשרות להגדיר משהו על סמך עצמו.
כל דבר שההגדרה מתבססת עליו חייב להיות מוגדר קודם.
האמת היא שכשחושבים על זה, זה די ברור – הרי אם רוצים להגדיר משהו אי אפשר להתבסס על דבר בלתי מוגדר בהגדרתו וברגע ההגדרה – הדבר שרוצים להגדיר עדיין איננו מוגדר.
לכן, בין השאר, הגדרה של קבוצה שהיא איבר של עצמה היא פתח לצרות כיוון שהקבוצה מוגדרת על ידי אוסף האברים שבה וכל עוד לא הוגדרו כל האברים בקבוצה, (כולל הקבוצה עצמה – אם היא אמורה להיות איבר) – אין אפשרות להגדיר את הקבוצה.
התייחסות עצמית (או הוראה עצמית – כפי שהיא נקראת לא פעם) אינה חייבת ליצור פרדוקס, אבל גם כשלא נוצר פרדוקס – בגלל ההוראה העצמית, יש בעיה של משמעות.
חישבו על ההיפך מפרדוקס השקרן בדוגמת המשפט הבא: "משפט זה הוא אמת".
זה משפט שפשוט לא אומר כלום וגם לגביו בעצם לא ניתן לקבוע אם הוא אמת או שקר – הרי אם הוא אמת הוא אמת ואם הוא שקר הוא שקר. שתי ההנחות יכולות להתקבל באותה מידה.
ההתייחסות העצמית היא אמם הורתם של רבים מהפרדוקסים שפילוסופים התחבטו אתם משכבר הימים.
זה המקום לציין שחלק מן הדברים שאני כותב כאן אינם מקובלים על כל הפילוסופים – אני מבטא את דעתי בלבד, אבל אני משוכנע שאני צודק ושמי שחושב אחרת טועה.
לפעמים אנשים מעירים לי על כך שאני מביע באופן נחרץ דברים שיש מי שחולק עליהם.
יכולתי להוסיף לכל משפט את ההקדמה "לדעתי" אבל, במקרים בהם אני די בטוח שדעתי נכונה אני נמנע מכך כי זה רק מסרבל את הניסוח.
הרי ברור שמה שאני כותב הוא דעתי וגם אם אכתוב משפט כמו "לדעת איינשטיין אין אלוהים" תהיה משמעות הדבר מבחינת הקורא שלדעתי – לדעת איינשטיין אין אלוהים.
זה מזכיר לי דיון שבו נכחתי שנוהל בידי הרמטכ"ל דאז – אמנון ליפקין שחק ז"ל.
אחד המתדיינים התחיל לדבר ואמר "אני אומר ש...."
הרמטכ"ל קטע את דבריו באותו רגע ואמר "תמיד מה שאתה אומר זה מה שאתה אומר!"
איש חכם היה.
כמובן שגם אמירות אלו ("לדעתי...", "אני אומר ש..." וכדומה) הן דוגמאות להתייחסות עצמית ולכן במקרים רבים אין הן נושאות מידע משמעותי.
בין הפרדוקסים שמקורם בהתייחסות עצמית ניתן למצוא פרדוקסים כמו פרדוקס ברי ופרדוקס בוחן הפתע (שכל אחד מהם ראוי למאמר המוקדש לו בלבד ובכוונתי לכתוב מאמרים אלה בעתיד).
יש גם פרדוקסים שאינם פרדוקסים של הוראה עצמית (כמו פרדוקס הערמה, פרדוקס העורבים, פרדוקס זנון ואחרים) וגם לכתיבה עליהם אני מקווה למצוא זמן.
במאמר הנוכחי ארצה להזכיר עוד (בקצרה) שלפרדוקסים של הוראה עצמית נמצאו גם שימושים מועילים.
לדוגמה, הוכחת משפט אי השלמות של גדל, מתבססת (באופן גס ביותר – הטקסט הנוכחי אינו טקסט מתמטי ואנא – אל תתפסו אותי במילה), על קידוד הלוגיקה בתוך המספרים הטבעיים ובניית מספר שתרגומו לעולם הלוגיקה הוא משהו בסגנון "משפט זה אינו ניתן להוכחה".
התרגום לעולם המספרים הטבעיים מאפשר את ההתחמקות מעניין ההתייחסות העצמית.
מי שעוסק במתמטיקה ובמחשבים נתקל לא פעם בהגדרות רקורסיביות.
הגדרות מסוג זה אינן מבטאות התייחסות עצמית אבל פירוט העניין יסרבל את המאמר הנוכחי שלא לצורך.
אני מניח שמי שיודע מהי הגדרה רקורסיבית מבין בעצמו מדוע אין מדובר כאן בהוראה עצמית.
מדי פעם, במפגשי נוסטלגיה, מזכיר ידידי פרופסור ארנון אברון שימוש מועיל אחר שמצאתי להתייחסות עצמית.
הוא מספר שפעם ניגש אלי ושאל אם אפשר לשאול אותי שאלה.
אמרתי לו "כרגע עשית זאת".
מיכאל רוטשילד
התגובות האחרונות