Skip to content

1VSDAT

חמישי, 18 יולי 2013 10:44

פרדוקס נובע תמיד מטעות בשיקול (מעגלתו של חילוני)

דרג מאמר זה
(0 מדרגים)
פרדוקס נובע תמיד מטעות בשיקול.
 
פרדוקס הוא מצב שבו שתי דרכי חשיבה לגיטימיות לכאורה מובילות אותנו למסקנות סותרות.
 
 
פתרון הפרדוקס איננו מושג על ידי העדפת דרך מחשבה אחת (אולי זו שבה מתקבל פיתרון שנראה לנו יותר הגיוני) על השנייה, אלא על ידי איתור הטעות באחת הדרכים (אולי זו שנותנת את הפתרון שנראה לנו לא הגיוני).
 
כל מעשה אחר אינו מיישב את הסתירה.
 
זו הסיבה לחשיבותם של פרדוקסים – פתרונם מכריח אותנו להתעמק ולפתור בעיות יסוד בחשיבה שלנו.
 
אסביר בקצרה למה כוונתי תוך שימוש בפרדוקס אכילס והצב.
 
פרדוקס זה הוא אחד הפרדוקסים שחוברו בידי הפילוסוף היווני זנון ולהלן תיאורו:
 
אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה, פי עשרה מהר יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות.
 
ברור (פתרון משוואות ממעלה ראשונה) שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.
 
הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.
 
אז היכן הטעות?
 
למסקנה שאכילס לא ישיג את הצב מגיעים על ידי תיאור של סדרה אינסופית של אירועים שבהם אכילס טרם השיג את הצב (וסדרה זו היא אכן סדרה שמתקיימת במציאות וניתן לשקף אותה גם בתיאור תנועתם של אכילס והצב באמצעות משוואות תנועה ליניאריות רגילות) אבל בנקודה זו בדיוק נכנסת הטעות בשיקול כאשר מסיקים מקיומה של אותה סדרה אינסופית של אירועים שאכילס לעולם לא ישיג את הצב בשעה שכל האירועים שבהם מדובר, אף כי מספרם אינסופי, מתרחשים כולם לפני שעה מסוימת (טור פרקי הזמן המפרידים ביניהם מתכנס) ולכן לא נכון להסיק מקיומם דבר על מה שיתרחש אחרי שעה זו.
 
במילים אחרות – נכון היה להסיק מהם שאכילס לא ישיג את הצב לפני שעה (נאמר) 10:00 אבל לא נכון להסיק שהוא לעולם לא ישיגנו.
 
השגיאה היא שגיאה של "הכללת יתר" ואפשר להמשיל אותה לשגיאה הבאה:
 
אני מסתובב ליד ביתי ושואל את כל האנשים שאני פוגש שם מהי ארץ מגוריהם. כולם עונים לי "ישראל" ואני מרשה לעצמי להסיק מכך שכל האנשים בעולם גרים בישראל.
 
במאמר מוסגר ראוי לציין כאן שלא תמיד אנחנו מנמנעים מהכללה בלתי מבוססת לפעמים יש הצדקה לאי ההגבלה.
 
אם, לשם דוגמה, נתבונן במפעל המדעי הרי שהוא "לוקה" באופן קבוע במה שאך לפני רגע תיארתי כטעות כיוון שאת כל הניסויים שלנו ערכנו בעבר ומסקנותינו לגבי החוקים מדברות גם על העתיד.
 
אנו מרשים לעצמנו לעשות זאת מכיוון שאנו מאמינים בנכונותה של אקסיומה מסוימת ביחס לחוקי הטבע – אקסיומה האומרת שהחוקים האלה אינם משתנים עם הזמן.
 
בבעיית זנון, כמובן שאיננו מתבססים על אקסיומה מסוג זה לגבי מהמיקום שכן התנועה מוגדרת על ידי שינוי המיקום עם התקדמות הזמן.
 
מיכאל רוטשילד
נקרא 1093 פעמים שונה לאחרונה ב- ראשון, 05 אוגוסט 2018 08:25

השאר תגובה

אנא ודא שהינך מקליד השדות המסומנים ב-*

12 תגובות

  • קישור לתגובה שלישי, 13 פברואר 2018 22:03 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    מחקר המרמז על כך שאפילו אם המרחב אינו רציף - ככל הנראה קיימים מרחקים הקטנים פי 525 מאורך פלאנק:
    https://arxiv.org/pdf/1109.5191v2.pdf

  • קישור לתגובה חמישי, 11 אוגוסט 2016 08:48 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    התגובה הנוכחית באה לתקן משהו שגוי שאמרתי בגלל שהוטעיתי על ידי ויקיפדיה.
    ציטטתי מויקיפדיה את המשפט "here is currently no known physical significance of the Planck length"
    זה אמנם ציטוט נכון אבל ויקיפדיה באנגלית ככל הנראה טועה בנקודה זו.
    הבוקר התעוררתי מאיזה רעש בשעה 6 והתחלתי לחשוב על שאלה כלשהי.
    במהלך המחשבה על אותה שאלה הגעתי למסקנה שאורך פלאנק צריך להיות רדיוס שווארצשילד של מסת פלאנק – המסה המינימלית האפשרית (וזה שהמסה באה בקוונטים – זו עובדה ידועה) כי גופים הנמצאים במרחק קטן מאורך פלאנק זה מזה הם חייבים להתמזג לחור שחור.
    חשבתי שעליתי על משהו חדש שאולי יאפשר למזג את תורת הקוונטים עם תורת היחסות וידעתי שלא אצליח להירדם שוב עד שאבדוק מה ידוע על העניין.
    ניגשתי למחשב וכיוון שלא זכרתי בוודאות איך כותבים פלאנק באנגלית – נכנסתי לויקיפדיה בעברית ותכננתי לחפש בה את הערך ולעבור ממנו לערך באנגלית.
    מיד כשנכנסתי לערך בעברית נחלתי צירוף מוזר של מפח נפש ואופוריה:
    ראיתי שהמסקנה שהגעתי אליה כתובה שם בדיוק.
    מפח הנפש היה מפני שהבנתי שלא חידשתי דבר.
    האופוריה נבעה מן האישוש לכך שמחשבתי הייתה נכונה.

    איך שלא יהיה – בניגוד למה שכתוב בויקיפדיה האנגלית – יש לאורך פלאנק משמעות פיזיקאלית ידועה.

    זה לא פוגע אפילו כמלוא הנימה (או כמלוא אורך פלאנק) בטענותיי אבל מצאתי לנכון להזכיר זאת כדי לבטל את ההטעיה שהעברתי לבריות מויקיפדיה.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 21:03 הוסף ע״י עדי אביר

    מיכאל,

    סוף סוף הבנתי את כוונתך. אנא סלח לי על הסטיה מהנושא.

    עדי

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 20:01 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    ובינינו - אם נכנסים לסיפור (הלגמרי בלתי מוצדק) של החלפת המודל של המציאות אז כמובן שעולה השאלה איך בכלל אפשר לעבור מנקודה מבודדת אחת של המרחב לנקודה הבאה אחריה.
    ההתחכמות שמנסים להתבסס עליה היא שכדי לעבור מנקודה אחת לנקודה הבאה לא צריך לעבור את חצי הדרך קודם אבל חצי הדרך לא מוגדר ולכן אין בעיה.
    זו כמובן סתם התחכמות כי יש בעיה ובכלל לא ברור איך אפשר לעבור מנקודה אחת למשניה.

    ועוד משהו בינינו: זו כבר היתלות באילנות גבוהים (וזה גם בהנחה השגוייה שבכלל יש מקום לטענות על מבנה העולם בשאלה שכולה לוגיקה טהורה) אבל אילו היה נובע מפרדוקס זה שהמרחב הוא בהכרח בדיד אז שאלת רציפותם של הזמן והמרחב לא הייתה נשארת פתוחה עד היום.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 19:51 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    עדי:
    צריך גם להבין שהם פשוט מתחילים לרוץ.
    הם לא מתחילים לחשוב על זה שכדי לעבור מטר הם צריכים קודם כל לעבור חצי מטר. זה פשוט קורה מאליו.
    אתה מוזמן לקרוא גם כאן:
    http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9B%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%95%D7%94%D7%A6%D7%91#.D7.A4.D7.A8.D7.93.D7.95.D7.A7.D7.A1_.D7.90.D7.9B.D7.99.D7.9C.D7.A1_.D7.95.D7.94.D7.A6.D7.91

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 19:36 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    עדי:
    הטיעונים שלי לגמרי נכונים.
    השעה 10 הייתה רק דוגמה (בגלל זה כתוב שם "(נאמר)") – זה תלוי מתי הם מתחילים ומהי מהירותם המדויקת. למשל, אם נניח שהם יוצאים לדרך בשעה X ושאכילס רץ 100 מטר בעשר שניות אז טור הזמנים שעליו אני מדבר הוא .....10+1+0.1+0.01+0.001 וכולי.
    טור זה מסתכם ל 11.111111....וזה אומר שכל אינסוף האירועים מתקיימים לפני X+11.1111……
    עם בחירה מתאימה של X השעה הנ"ל תהיה 10 אבל זה לא חשוב כי כאמור 10 הוא רק דוגמה.
    זה נראה לי פשוט למדי ואני מתקשה להבין מה מונע ממך להבין את כוונתי.
    כל הרעיון הוא שלא ניתן להסיק מקבוצת אירועים שכולם מתרחשים לפני X+11.1111…… כל מסקנה לגבי מה שמתרחש אחרי שעה זו והמילה "לעולם" מתייחסת כמובן למה שקורה אחרי שעה זו.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 17:14 הוסף ע״י עדי אביר

    חילוני,

    אני לא כל כך מבין את הטיעונים שלך. במקום להניח שאכילס לא ישיג את הצב עד שעה 10:00 היה עלינו להניח שאכילס לא ישיג את הצב עד סוף שנת 2018 או עד סוף שנת 3039. מה היה משתנה אז? היכן היינו שוגים בהכללת יתר?

    למעשה, אם היינו מגיעים למסקנה שאכילס לא ישיג את הצב 'על ידי תיאור של סדרה אינסופית של אירועים שבהם אכילס טרם השיג את הצב' אז באמת אכילס לא היה מצליח להשיג את הצב לעולם. המזניק היה נותן את האות אבל אכילס והצב היו נשארים במקומם כי כל אחד מהם היה צריך לחצות את מחצית הדרך לקו בסיום ואת מחצית ממחצית הדרך וכך הלאה עד אינסוף וכיוון שתהליך זה יימשך לנצח אף אחד מהם לא יפתח לעולם בצעד הראשון. בכל מקרה, פרדוקס של ממש לא יהיה לנו פה.

    בכדי להפוך את הסיפור לפרדוקס מעניין עלינו להניח שהמקטע שעל כל אחד מהם לעבור אינו ניתן לחלוקה אינסופית ובשלב מסויים גומרים לחלק את המקטע לשניים ופותחים בצעד הראשון אבל התרחיש הזה גם פותר את הפרדוקס. במקרה של מרחב בדיד ולא רציף יש רק מספר סופי של חלוקות ולכן גם אכילס וגם הצב יכולים להתקדם וכיוון שמהירותו של אכילס גבוהה יותר ממהירות הצב, אכילס ידביק את הצב תוך כמה שניות.

    כך או כך לא ניתן להגדיר שום תרחיש פרדוקסלי. אם תניח שהמרחב הוא רציף, שני הצדדים ישארו במקומם ולא נעמוד מול שום פרדוקס. מאידך, אם תניח שהמרחב הוא בדיד אז אכילס, באופן טבעי, יעבור דרך הנקודות הבדידות מהר יותר מהצב ושוב לא נצטרך להתמודד עם פרדוקס כלשהו. בקיצור, בימינו הפרדוקס של זינו כבר אינו פרדוקס.

    עדי

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 16:31 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    אגב, אם אנחנו מרשים לעצמנו לפתור פרדוקסים על ידי החלפת המודל של העולם אז יש המון פתרונות אפשריים.
    הרי גם הטענה שבכלל אין זמן ומרחב ואנחנו חיים במטריקס וכל עולמנו מדומיין מאיינת את הפרדוקס.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 16:23 הוסף ע״י חילוני (מעגלתו של)

    עדי:
    אני מבין שבגודל פלאנק באמת צר לך אבל זה לא אומר את מה שאתה חושב.
    לכן, בקישור שהבאת מויקיפדיה כתוב "There is currently no known physical significance of the Planck length;"
    יש בעניין כל מיני ספקולציות ולא אמרתי שבסופו של דבר המרחב לא יתברר כבדיד אבל כפי שציינתי – זה לא שייך לענייננו.
    פרדוקס, בדרך כלל, וגם במקרה הנוכחי הוא בדיוק מה שציינתי.
    ראה, למשל בויקיפדיה:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Paradox
    כתוב שם מיד בהתחלה: A paradox is an argument that produces an inconsistency, typically within logic or common sense
    פרדוקס זה מונח לוגי ופתרונו לא יכול להתבסס על הפיזיקה.
    מערכת של שיקולים לוגיים על העולם תמיד מבוססת על מודל של העולם (כי אי אפשר להפעיל לוגיקה על העולם עצמו כמו שאי אפשר להפעיל אותה על כיסא).
    המודל שעליו מדברים בפרדוקס הוא מודל של עולם רציף.
    רק שם בכלל יש בעיה כי בעולם בדיד בכלל אי אפשר ליצור את התסריט שעליו הפרדוקס מדבר.
    אני בטוח שיש עוד אנשים מלבד אלה שכתבו את המאמר שעליו הצבעת שמתבלבלים בעניין.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 14:27 הוסף ע״י עדי אביר

    חילוני,

    צר לי אבל התורה הקוונטית מחייבת את הזמן והמרחב להיות בדידים ולא רציפים, לפחות מנקודת המבט שלנו. פשוט יש מרחק כה קטן שבתוכו חוק אי-הוודאות של הייזנברג כבר אינו מאפשר מדידה ולכן אין שום אפשרות להבדיל בין המקטע לבין מחציתו. ראה את הערך Planck Length בויקיפדיה האנגלית בכתובת:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

    מצאתי גם מאמר אינטרנטי שדן בתופעה ובסופו הוא מתייחס להשפעת קבוע פלאנק על הפרדוקס של זינו.
    http://www.infobarrel.com/Solving_Zenos_paradox_-_How_the_Tortoise_overtook_the_Hare


    עדי

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 12:43 הוסף ע״י חילומי (מעגלתו של)

    עדי:
    איננו יודעים אם המרחב והזמן רציפים או לא. זו עובדה.
    לכן, בשום מקרה אין לבסס על זה פתרון – אבל זה בכלל לא העניין.
    כפי שהסברתי, פרדוקס נוצר כאשר שתי דרכי חשיבה שונות מניבות מסקנות שונות וזה בכלל לא תלוי בתכונות היקום אלא בלוגיקה בלבד.
    המודל בו מנוסחת הבעיה הוא המודל הנהוג של זמן ומרחב רציפים וכפי שהראיתי – גם בזמן ומרחב רציפים אין בעיה.
    הסיפור עם טריליונית השנייה בטעות יסודו כי בטור מתכנס יש רק מספר סופי של אברים הגדולים או שווים לטריליונית השנייה והשאר (אינסוף במניין) קטנים מטריליונית השנייה.
    כנ"ל, אגב, גם לגוגולית השנייה.
    האם אתה כופר בכל החשבון האינפיניטסימאלי ובקיומם של טורים מתכנסים?
    מדובר כאן בטור מתכנס של פרקי זמן ותו לא.

  • קישור לתגובה חמישי, 18 יולי 2013 11:30 הוסף ע״י עדי אביר

    חילוני,

    להערכתי הצב והזמן המתכנס הם רק מסיחים לפרדוקס האמיתי: איך בכלל תיתכן תנועה כלשהי לאורך קו רציף? בכדי שאכילס יעבור מטר עליו לעבור לפני כן חצי מטר ולפני זה עליו לעבור רבע מטר וכך הלאה עד אינסוף. במקרה זה הזמן בין שלב אחד לשני אינו רלוונטי ומצידי שכל שלב ייקח טריליונית השנייה אבל כיוון שמדובר בתהליך אינסופי אכילס לעולם לא יוכל לזוז ממקומו והוא ייאלץ להמתין לנצח עד שהוא יוכל לצאת לדרכו.

    התשובה לפרדוקס היא שהמרחק והזמן אינם רציפים אלא דיסקרטים. בסופו של דבר קבוע פלאנק כופה מרחק מינימלי בין כל שתי נקודות על הקו כיוון שבמרחק קטן יותר עיקרון אי-הוודאות של הייזנברג כבר מונע מאיתנו להבדיל בין שתי הנקודות. מאותן הסיבות הדבר נכון גם לגבי הזמן וקיימת יחידת זמן מינימלית אותה כבר לא ניתן לפצל ליחידות קטנות יותר. כיוון שהקו מורכב מנקודות בדידות אכילס ימתין רק פרק זמן סופי עד שהוא יגיע לשלב בו כבר לא ניתן לחלק את המרחק לחצי ואז הוא יוכל לעבור לנקודה הבדידה הבאה ובסופו של דבר הוא יוכל לנוע מנקודה לנקודה ולהגיע למטרתו.

    בברכה,

    עדי אביר

התגובות האחרונות

המאמרים האחרונים