נוסח הבעיה:

ריצפו מלבן גדול במלבנים קטנים יותר כך שכל המלבן הגדול מכוסה ואין חפיפה בין המלבנים הקטנים לבין עצמם.

נתון שבכל אחד מן המלבנים הקטנים, אורכו של לפחות אחד מבין ממדיהם (הגובה והרוחב) הוא מספר שלם של סנטימטרים.

צריך להוכיח שבתנאים אלה, גם למלבן הגדול חייב להיות לפחות מימד אחד שאורכו מספר שלם של סנטימטרים.

הוכחה:

נתבונן במלבן שמולא על ידי מלבנים שלכל אחד מהם מימד אחד שלם לפחות.

נוציא ממנו את כל המלבנים אך נזכור איפה היה כל אחד ונתחיל להחזיר אותם חזרה למקומם אחד אחרי השני.

בהחזירנו אותם למקומם נתחיל מלמטה ונקפיד על כך שכל מלבן יוחזר למקומו רק אחרי שיש על מה "להניח" אותו "בביטחון" כלומר שכל המלבנים ה"נושאים" אותו כבר הונחו.

להלן ציור להמחשה:א

בציור שלעיל, המלבנים הלבנים כבר הונחו ואת האחרים עוד יש להניח.

את המלבן הירוק כבר אפשר להחזיר למקומו אבל את האדום עוד לא כי "הבסיס שלו" עוד לא מוכן בשלמותו (לפני שנניח את האדום עלינו להניח את המלבן המפוספס שנמצא תחת חלקו הימני.

בכל שלב, נגדיר בתור "חזית" את הקו המקוטע שמתאר את הנקודות הגבוהות ביותר שכבר מולאו.

למשל, בציור הנ"ל, לאחר שיונח המלבן הירוק, תתואר החזית על ידי הקו השחור העבה.

כל נקודה על החזית נמצאת במרחק מסוים מבסיס המלבן החיצוני.

מרחק זה (בסנטימטרים) יכול להיות שלם או שבור (בלתי שלם).

נאפיין את הנקודות שבבסיס המלבן החיצוני (להלן "הבסיס") כשלמות אם החזית שמעליהן נמצאת במרחק שלם מהן וכשבורות אם החזית נמצאת במרחק שבור מעליהן.

בהתחלת התהליך, החזית היא בסיס המלבן החיצוני ולכן כל הנקודות על הבסיס (הן במרחק אפס מהחזית ואפס הוא כידוע שלם ולכן הן) שלמות.

בכל פעם שמניחים מלבן נוסף עשוי אפיונן של חלק מנקודות הבסיס להשתנות.

אפיונה של נקודה יכול להשתנות רק אם מניחים מעליה מלבן שגבהו אינו שלם (ואז אנחנו יודעים שרוחבו שלם).

זה אומר שבכל פעם שמשתנה מצבן של חלק מנקודות הבסיס זה קורה לקטע בבסיס שארכו שלם.

מכיוון שבתחילת התהליך כל הנקודות שלמות (כאמור לעיל) ומכיוון שכל שינוי באפיון של נקודות מתרחש תמיד על קטעים שלמים, אנחנו יכולים לטעון שבכל שלב מידת קבוצת הנקודות השבורות היא שלמה (בהתחלה היא אפס כי כל הנקודות שלמות ובהמשך, כשהיא גדלה או קטנה היא עושה זאת רק לאורך קטעים שאורכם שלם).

אז מה קורה בסוף?א

בסוף אחרי שמילאנו את כל המלבן החיצוני, כל נקודות הבסיס במרחק זהה מן החזית ולכן או שכולן שלמות או שכולן שבורות.

אם הן שלמות אז סיימנו כי זה אומר שגובה המלבן שלם.

אם הן שבורות, סיימנו גם כן כי אנחנו יודעים שבכל שלב, כולל בשלב זה, מידת קבוצת הנקודות השבורות היא שלמה ופירוש הדבר הוא שמידת הבסיס שלמה כי קבוצת הנקודות השבורות היא כל הבסיס.

וואו!! לא?א

מסתבר שאפשר לפתור את הבעיה פשוט על ידי....משחק מילים.

במאמר "הדיבר הראשון" טענתי שמותר האדם מן הבהמה, יותר משהוא מתבטא בעובדה שלאדם יש שפה, הוא מתבטא ביכולתו להמציא שפה.

יכולת זו עוזרת לו לחשוב כי הוא יכול לתת שם או סמל למושג מורכב ואחר כך להשתמש בשם/סמל הזה בבניית מושגים ומחשבות מורכבים יותר וחוזר חלילה.

נראה לי שבפתרון זה ניתן לראות כמה יכולת זו מועילה.

מחוץ לעולם הבעיה שלנו משמשות המילים "חזית", "שלם" ו"שבור" במשמעות שונה לחלוטין מאשר בתוך עולם הבעיה (מי שמע אי פעם על נקודה שבורה?).

עלי לציין שיכולתי לבחור מילים אחרות (כמו צפפוח, שמרגול ויפרן) לאותו צורך אבל העדפתי להשתמש במילים שיש קשר בין משמעותן המקובלת למשמעותן בתוך הבעיה.

מאמר זה הוא חלק ממאמר בשם "להיות מתמטיקאי" שפורסם בעבר באתר "הידען".

במאמר המלא תוכלו לקרוא הרחבות של הבעיה ופתרונות נוספים שלה.

מיכאל רוטשילד