פירוט לרשימה קודמת בעקבות שאלות שנשאלתי

דפוס תנועה של גלים חוזרים

תנועת מפגשי גלים

לצורך הפשטה נשתמש בהדגמה דו-ממדית, למשל פני המים בבריכה. בנקודות מסוימות בבריכה מותקנים מוקדי רעידות מבוקרות. הפעלת כל מוקד יוצרת פעימה בודדת, והגל שנוצר נע לכל הכיוונים במידה שווה ויוצר מעגל גדל והולך. מהירות ההתקדמות של חזית הגל הינה קבועה, ואוסף כל הנקודות המהוות את שיא הגל בכל רגע נתון מהווה מעגל מושלם. בתמונה מוצג גל בחמש נקודות זמן שונות אשר המרווח ביניהן קבוע.

תמונת פשוטה של גל

נפעיל שני מוקדי רעידות הנמצאים בשתי נקודות המרוחקות מרחק קטן כלשהו זו מזו, ונביט בנקודות מפגש הגלים (נמ"ג).

תמונת מפגשי גלים משני מוקדים

מרחק נקודת המפגש מאחד המוקדים היא אורך מחוג מעגל הגל. היות שהתקדמות הגלים הינה שוות מהירות, הרי מרחק הנמ"ג מן המוקד האחד ומרחק הנמ"ג מן המוקד השני גדלים באורך זהה בכל יחידת זמן, ומשום כך הנמ"ג נעה במסלול שהוא אוסף כל הנקודות אשר מרחקן מן המוקד האחד פחות מרחקן מן המוקד השני הוא גודל קבוע. העקומה הנוצרת במסלול הזה היא היפרבולה.

הגודל הקבוע הוא מידת ההתרחקות של הגל הראשון מן המוקד שלו עד הרגע בו נוצר הגל במוקד השני. הגודל הקבוע הזה הוא גם הפרש המופע. הפרש המופע בתמונה הנתונה הוא 3 יחידות.

להלן תמונת מפגשי גלים בה הפרש המופע הוא אפס:

תמונת מפגשי גלים בהפרש מופע אפס

זה מקרה מנוון של היפרבולה השווה לקו ישר הניצב לקטע הישר העובר בין המוקדים וחוצה אותו.

והנה תמונת מפגש גלים בה הפרש המופע שווה למרחק בין המוקדים:

כאן ההיפרבולה היא קרן המונחת על הישר המחבר בין המוקדים.

שני המקרים המנוונים שתוארו למעלה הינם תוצאת מצבים קיצוניים. כאשר הפרש המופע גדול מן המרחק בין המוקדים, לא נוצר מפגש גלים.

להוציא שני המקרים המנוונים, התקדמות מפגשי הגלים היא בקו העקום, אך ככל שהיא מתרחקת מן המוקדים היא הולכת ומתקרבת אל קו ישר. ישר זה נקרא בשם אסימפטוטה.

תמונת היפרבולה ואסימפטוטה

מוצגים כאן שני המוקדים, גזע אחד של היפרבולה (הגזע השני הוא תמונת ראי של הגזע המצויר. לא מובא כאן כי אינו נחוץ), ושני הישרים המהווים אסימפטוטה.

נניח כעת שהמוקדים מופעלים על ידי פגיעת חזית גל המגיע מרחוק:

פגיעת חזית גל - תמונה א

פגיעת חזית גל – תמונה ב

חזית הגל פוגעת במוקד הראשון ומפעילה אותו ליצירת פעימה אחת.

פגיעת חזית גל – תמונה ג

חזית הגל פוגעת במוקד השני ומפעילה אותו. הגל המתפשט מסביב למוקד הראשון ממשיך להתרחב.

פגיעת חזית גל – תמונה ד

חזית הגל חלפה על פני המוקד השני וגם מסביבו מתפשט גל. היות ששני המוקדים הופעלו בזמנים שונים, הרי הפרש המופע גדול מאפס. מפגש הגלים מתקדם במסלול היפרבולי, המצויר כאן יחד עם האסימפטוטה שלו.

פגיעת חזית גל – ניתוח גיאומטרי

קוסינוס זווית הפגיעה שווה למרחק שעברה חזית הגל – מרגע הפגיעה במוקד הראשון עד רגע הפגיעה במוקד השני - מחולק במרחק בין המוקדים.

המרחק שעברה חזית הגל הוא גם הפרש המופע בין שני המוקדים (כי מהירות התקדמות הגל הפוגע שווה למהירות התקדמות הגלים הנוצרים).

מחקירה מתמטית מדוקדקת של ההיפרבולה אנו למדים כי קוסינוס הזווית שבין האסימפטוטה לבין הישר העובר דרך המוקדים שווה להפרש הקבוע מחולק במרחק בין המוקדים. מכאן נובע כי קוסינוס הזווית בין האסימפטוטה של ההיפרבולה, המתארת את התקדמות הנמ"ג, לבין הישר העובר דרך המוקדים שווה לקוסינוס זווית הפגיעה של הגל שהפעיל את המוקדים. שוויון בין קוסינוסים של שתי זוויות מתקיים כאשר הזוויות שוות בערכן המוחלט.

זווית הגל הפוגע שווה לזווית תנועת נקודת מפגש הגלים

מן התצפיות בתופעות החזרת גלים, למשל באופטיקה גיאומטרית, אנחנו יודעים כי זווית הקרן החוזרת ממישור שווה לזווית הקרן הפוגעת.

נראה כעת את התנהגות מפגשי הגלים מן העבר השני של הישר המחבר בין המוקדים. נתקין מספר רב של מוקדים במבנה סריג פשוט.

מפגשי הגלים פוגעים במוקדים ומפעילים אותם. מכיוון שהמרחק בין המוקדים קטן, פוגשים מפגשי הגלים את המוקדים בשכבה הבאה בזווית שונה מזווית האסימפטוטה. להלן פרט מוגדל:

בצבע תכלת מצויר כיוון הקרן הפוגעת בשכבה הראשונה של הסריג. בכחול כהה מצויר המשיק להיפרבולה בנקודת הפגיעה. איור זה ממחיש את ההבדל בין זווית הקרן הפוגעת מחוץ לשריג לבין זווית מעבר מפגשי הגלים משכבה לשכבה בתוך הסריג.

מן התצפיות בתופעות מעבר גלים מתווך אחד לתווך שצפיפותו שונה, אנחנו יודעים כי זווית הקרן משתנה. למשל, קרן אור "נשברת" במעבר בין תווכים.